3. Peamised õppimisteooriad ja õpetamismudelid koolimatemaatika kontekstis

Sissejuhatus

Matemaatika didaktika ei saa areneda eraldiseisvana üldisest haridusteadusest, sest õppimise ja õpetamise mõistmiseks toetub ta paratamatult pedagoogika ning psühholoogia suurematele teooriatele. Erinevatel ajastutel on hariduspsühholoogias valitsenud erinevad suunad, mis on kujundanud ka matemaatika õpetamise praktikaid, õpikuid ja eksameid. Kolm peamist õppimise käsitlust – biheiviorism, kognitivism ja sotsiaalkonstruktivism – on jätnud sügava jälje koolimatemaatika arengusse.

Biheiviorism: õppimine kui käitumise kujundamine

20.sajandi alguses kujunes tugevaks biheivioristlik (käitumuslik) õppimisteooria, mille rajajateks peetakse Edward Thorndike’i ja hiljem B. F. Skinnerit. Thorndike (1913) sõnastas oma kuulsad „õppimise seadused“, sh efektiivsuse ja kordamise seadus, mille kohaselt õppimine toimub kordamise kaudu ja tugevneb siis, kui õige vastus viib edu ja kiituseni. Skinner (1954) lõi Thorndike'i käsitluse edasiarendusena operantse tingituse teooria (Operant Conditioning), kus õppimist mõistetakse kui käitumise muutust välise positiivse või negatiivse tagasiside mõjul. Operantse tingituse teooria põhimõisted on stiimul (stimulus), reaktsioon (response) ja kinnitamine (reinforcement).

Stiimul on väliskeskkonnast (nt õpetajalt või ekraanilt) tulev esitlus või ülesanne, mille eesmärgiks on kutsuda esile õppija tegevus. Matemaatikatunnis võib stiimuliks olla näiteks õpetaja poolt suuliselt või koos tahvlile/ekraanile kirjutatud tekstiga/joonisega esitatud ülesanne: „Kui palju on 6 × 7?“
Reaktsioon on õppija vastus stiimulile, s.t tema käitumine või sooritus. Antud näites on reaktsiooniks õpilase poolt suuliselt või kirjalikult esitatud vastus korrutamistehtele: „42“.
Kinnitamine on tagasiside, mis järgneb reaktsioonile ning suurendab või vähendab tõenäosust, et õpilane tulevikus samasuguses olukorras sama moodi käitub. Kui õpetaja kiidab õpilast või märgib vastuse õigeks, on tegemist positiivse tugevdamisega. Kui vastus on vale ja õpilane ei saa edasiliikumise võimalust enne, kui ta on õige vastuse leidnud (nt digitaalses õpikeskkonnas), toimib see kui negatiivne tugevdamine – vale vastus takistab edasiliikumist ja motiveerib uut katset.

Biheiviorismi puhul välistati õppija peas toimuvate mõtteprotsesside uurimise võimalus ja keskenduti üksnes silmaga nähtavale ehk muutustele õpetaja ja õppija käitumises. Skinner pidas õppimise aluseks järkjärgulist käitumise kujundamist (shaping), kus keerulisemad oskused ehitatakse üles lihtsamate reaktsioonide järjestikuse tugevdamise kaudu. Matemaatikas võib see tähendada näiteks murdude liitmise õpetamist: esmalt harjutatakse lihtsamaid murde (nt 1 + ½), seejärel järk-järgult keerulisemaid (nt ⅔ + ¾), kusjuures iga õige samm saab positiivse kinnituse (nt kiituse õpetajalt) ning loob motivatsiooni järgmise sammu tegemiseks. Skinneri ideed realiseerusid ka nn programmõppes ja varastes õpimasinates, kus õpilane liikus läbi väikeste sammudega ülesannete jada, vajutades valikvastuste nuppe ja saades heli- ja valgussignaali kaudu kinnitusi oma sooritustele. Iga õige vastus võimaldas liikuda järgmisele tasemele, samas kui vale vastus andis kohese parandava tagasiside. Seda loogikat järgivad tänapäeval jätkuvalt mõned digitaalsed õpikeskkonnad ja matemaatika drill-platvormid, kus automaatne tagasiside ja samm-sammuline edenemine motiveerivad õppijaid.

Kriitikud on osutanud, et kuigi selline lähenemine arendab automatiseeritud oskusi (nt peastarvutamine, valemite rakendamine), võib see jätta tahaplaanile matemaatilise mõtlemisoskuse, kõne ja kirjaoskuse, aga ka sügavama mõistmise ja loovuse. Selline lähenemine taandab matemaatika õppimise mehaanilisteks harjutusteks, kus kaduma läheb arusaamine ja mõtestatus. Õpilased, kes suutsid küll õigeid vastuseid produtseerida, ei pruukinud mõista, miks need vastused kehtivad. Näiteks võisid nad lahendada protsentarvutuse ülesandeid õigesti, kuid eksida siis, kui küsimus oli sõnastatud ebaharilikul kujul. Seetõttu on hilisemad õppimisteooriad püüdnud asendada biheivioristlikke õppimis- ja õpetamiskäsitlusi alternatiivsete teooriatega, mis toetavad mõtestatumat ja sügavamat matemaatikaõpet.

Arutelu

Meenuta juhtumeid oma kooliajast, kus matemaatika õppimine põhines mehaanilisel kordusel ja drillil. Kuidas mõjutas see sinu arusaamist matemaatikast ja mõtlemisoskusi – kas aitas pigem tõhustada õppimist või takistas sügavamat mõistmist?
Kujutle, et pead õpetama 6. klassi õpilastele protsentarvutust. Millist tüüpi ülesandeid ja kinnitamis- või tagasisidemeetodeid võiksid õpetajana kasutada Skinneri mudeli järgi? Milliseid probleeme sa selle lähenemise puhul näed?

Kognitivism ja Piaget’ arengupsühholoogia

Jean Piaget’ teooria (1952) muutis arusaamist õppimisest: õppimine ei ole pelgalt käitumise kujunemine, vaid teadmiste aktiivne konstrueerimine läbi mõtlemise ja kogemuse. Piaget kirjeldas lapse kognitiivset arengut neljas etapis, millest koolimatemaatika seisukohalt on olulised konkreetsete operatsioonide staadium (umbes 7–11 eluaastat) ja formaalsete operatsioonide staadium (alates 12. eluaastast). Piaget’ teooria keskne idee on, et õppimine ei tähenda pelgalt teadmiste mehaanilist salvestamist, vaid uute teadmiste kohandamist olemasolevate mõtlemisskeemidega. Selle protsessi aluseks on kaks vastastikku seotud mehhanismi: assimilatsioon (i.k.: assimilation) ehk sobitamine ja akommodatsioon (i.k.: accommodation) ehk kohanemine (Piaget, 1952).

Assimilatsioon tähendab seda, et laps püüab uut kogemust või teadmist sobitada olemasolevasse skeemi. Näiteks kui õpilane on õppinud, et „liitmine tähendab kokku panemist“, siis võib ta esialgu murdude liitmist (1 + ½) käsitleda lihtsalt kahe poole kokkupanekuna ning jõuda arusaamani, et tulemuseks on üks ja pool. Uus teadmine on assimileeritud juba olemasolevasse arusaama täisarvude liitmisest.
Akommodatsioon toimub aga siis, kui olemasolevad skeemid ei sobi uue kogemusega ning neid tuleb muuta või ümber kujundada. Kui sama õpilane seisab silmitsi ülesandega ⅔ + ¾, ei piisa enam varasemast lihtsast „kokkupaneku“ skeemist, sest nimetajad on erinevad. Ta peab oma arusaama laiendama – õppima murdude taandamist ja ühisnimetaja leidmist. See on akommodatsioon, kus senist mõtlemisviisi tuleb muuta, et uus kogemus mõistetavaks teha.

Matemaatika õppimine toimub Piaget' kohaselt pidevas tasakaalu otsingus (equilibration): õpilane assimileerib uusi kogemusi seni tuttavatesse mõtteskeemidesse, kuid kui need osutuvad ebapiisavaks, toimub akommodatsioon ja teadmiste struktuur muutub. Nii ehitavad õpilased samm-sammult üles järjest keerukamaid arusaamu matemaatikast.

Matemaatika didaktikas tähendas Piaget’ teooria, et õpetajad pidid arvestama õpilaste arengutasemega. Näiteks algebralisi teisendusi või murde ei olnud mõistlik abstraktselt õpetada liiga vara – enne, kui laps on võimeline konkreetsete operatsioonide abil mõtlema. Selle asemel soovitati kasutada füüsilisi, käegakatsutavaid objekte (klotsid, joonlauad, geomeetrilised kujundid), mis võimaldavad õpilasel konkreetsetest kogemustest lähtudes uusi mõisteid ja seoseid konstrueerida.

Ka 20. sajandi teises pooles Euroopas ja Ameerikas välja antud matemaatika õpikud kandsid kognitivistlikku jälge: neis oli tavaks alustada eluliste situatsioonidega (nt õunade jagamine murdude õpetamisel), liikuda edasi pisut abstraktsematele kujutistele (joonised, skeemid) ning jõuda lõpuks sümbolilisele tasemele (matemaatilised märgid ja valemid). Sellist kolmetasandilist õppimist kirjeldas ka Bruner (1966) oma tegevusliku, ikoonilise ja sümboolse representatsiooni mudelis.

Kognitivismi kriitikud on osutanud, et Piaget’ arenguetapid ei ole alati universaalsed – õpilased võivad omandada keerukamaid mõisteid ka varem, kui õpetus ja sotsiaalne keskkond seda toetavad. Sellest tuleneski edasine liikumine sotsiaalse mõõtme juurde.

Arutelu

Mõtle mõnele matemaatika mõistele (nt negatiivsed arvud, murdude liitmine või ruutfunktsioon). Kuidas võiksid õpilased selle mõiste esmalt assimilatsiooni kaudu sobitada olemasolevatesse teadmisesse ning millise puhul neist oleks vajalik akommodatsioon?
Analüüsi mõnda praegust põhikooli või gümnaasiumi matemaatika õpiku peatükki. Milliseid õppetegevusi või ülesandeid seal leidub, mis toetavad Piaget’ kirjeldatud arenguetappidega kooskõlas olevat õppimist (nt liikumist konkreetsetelt kogemustelt füüsiliste objektide käsitsemisega ikoonilisele ja sümbolilisele tasemele)? Kas mõni õpikupeatükk paistab olevat ka vastuolus Piaget' käsitlusega?

Sotsiaalkonstruktivism: õppimine kui koostöine teadmusloome

Kui varased biheivioristlikud ja kognitivistlikud õppimisteooriad käsitlesid õppimist rangelt individuaalse aineteadmiste omandamisena õppekava järgides, hakkas juba 20.sajandi esimeses pooles kerkima esile hoopis teistsugune arusaam õppimisest kui sotsiaalsest tegevusest. Näiteks Egan (1997) määratleb koolihariduse kolme peaeesmärgina:

akkulturatsiooni ehk eelmiste põlvkondade kultuuripärandi (sh matemaatika, kirjanduse ja muusika traditsioonide, praktikate ja keele) tundmaõppimine
individuatsiooni ehk ennastjuhtiva (agentse/subjektse), loova ja õnneliku isiksuse kujundamine
sotsialisatsiooni ehk ühiselu nõuetega kohanduva, ühisetgevustesse panustava, ühist identiteeti omava kogukonna liikme kasvatamine

Enne teist maailmasõda Nõukogude Venemaal pakkus Lev Võgotski (1978) alternatiivi individuaalsele kognitivismile, rõhutades õppimise sotsiaalset ja kultuurilist mõõdet. Tema „lähima arengu tsooni“ teooria kohaselt õpib laps kõige paremini ülesandeid, mille keerukus ületab pisut tema iseseisva toimetuleku võimekust, kuid mida ta suudab siiski lahendada koos õpetaja või edasijõudnumate kaaslaste abiga.

Matemaatika didaktikas tähendab see, et oluline ei ole üksnes ülesannete järkjärguline keerukamaks muutmine, vaid ka õppijate vaheline koostöö, dialoog ja ühine tähendusloome. Näiteks keerukamate tekstülesannete lahendamisel on kasu rühmatööst, kus õpilased arutlevad erinevate lahenduskäikude üle, põhjendavad oma strateegiaid ja õpivad üksteise vigadest. Matemaatikatunnis võib õpetaja kasutada sotsiokognitiivseid konflikte – olukordi, kus õpilaste lahendused on erinevad ja neid tuleb ühiselt arutleda.

Sotsiaalkonstruktivistlikku lähenemist toetavad ka mitmed rahvusvahelised praktikad. Näiteks on Skandinaavia maades levinud uurimuslik või nähtusepõhine matemaatikaõpe, kus õpilased sõnastavad üheskoos hüpoteese, teevad nende kontrollimiseks katseid ja hindavad kriitiliselt oma tulemusi. Samuti on kasutatud projektõpet, kus matemaatikat rakendatakse eluliste probleemide lahendamisel (nt kooli katusel olevate päikesepaneelide efektiivsuse arvutamine). Kanadast on aga saanud alguse P.Liljedahl'i loodud "mõtleva klassiruumi" metoodika, mille puhul õpilased üksi koolipingis pusimise asemel arutavad probleemüleasnnete lahendusi seinal rippuva valgetahvli peal ideid visandades ja neid omavahel arutades.

Võgotski sotsiaal-kultuurilist õppimisteooriat on arendanud edasi nii vene, soome kui paljude teiste riikide teadlased tegevusteooria nime all, kusjuures seda on rakendatud ka matemaatika didaktika ja metoodika uurimisel (Activity Theory as a Framework for Teaching Mathematics).

Sotsiaalkonstruktivistliku õppimisteooria kriitika on aga seotud küsimusega, kas kõiki õpilasi suudab koostööpõhine õpe võrdselt toetada. Kui õpetaja ei loo piisavalt selget struktuuri, võivad tugevamad õpilased domineerida ja nõrgemad jääda passiivseks. Seetõttu rõhutavad paljud tänapäeva didaktikud vajadust tasakaalu järele: sotsiaalne teadmusloome peab toetuma süsteemsetele, õpetaja juhitud seletustele.

Arutelu

Milline võiks olla matemaatikatunni õpitegevus, kus õpilased töötavad rühmades ja kasutavad dialoogi, et ühiselt lahendada keeruline tekstülesanne. Kuidas tagaksid, et tegevus asub õpilaste „lähima arengu tsoonis“?
Meenuta mõnda õpikogemust (kas õpilasena või õpetajana), kus arutelu klassikaaslastega aitas mõista matemaatikat paremini kui individuaalne töö. Mis rolli mängis õpetaja selles protsessis?

Kokkuvõte

Biheiviorism, kognitivism ja sotsiaalkonstruktivism on kujundanud matemaatika didaktikat väga erineval moel. Biheiviorism andis matemaatikaõppele süsteemsuse ja automatiseerimise rõhuasetuse, kuid sageli mõistmise arvelt. Kognitivism tõi esile mõtlemisprotsesside tähtsuse ja õppimise arengulise loogika, mõjutades sügavalt õpikuid ja õppetöö ülesehitust. Sotsiaalkonstruktivism rõhutas koostööd ja kultuurilist konteksti, muutes matemaatikaõppe dialoogilisemaks ja elulähedasemaks. Tänapäeva koolimatemaatika ühendab neid kõiki, otsides tasakaalu harjutamise, mõistmise ja ühise teadmiste loomise vahel.

Kasutatud allikad

Bruner, J. S. (1966). Toward a theory of instruction. Harvard University Press.
Piaget, J. (1952). The origins of intelligence in children. International Universities Press.
Skinner, B. F. (1954). The science of learning and the art of teaching. Harvard Educational Review, 24(2), 86–97.
Thorndike, E. L. (1913). Educational psychology: The psychology of learning. Teachers College, Columbia University.
Vygotsky, L. S. (1978). Mind in society: The development of higher psychological processes. Harvard University Press.

Lisalugemist

Loc, N.P. jt (2022) Activity theory as a framework for teaching mathematics: An experimental study. Helyon 8(10), Elsevier.
Jo Boaler jt (2021) The Transformative Impact of a Mathematical Mindset Experience Taught at Scale. Frontiers in Education.
Liljedahl, P. (2016) Building Thinking Classrooms: Conditions for Problem-Solving. Springer.

Kaitstud magistritööd õppimisteooriatest matemaatikaõppe kontekstis

Vorobjoviene, S. (2024) 8. klassi õpilaste metakognitsiooni arendamine matemaatika tunnis. TLÜ DTI magistritöö
Saar, K.D. (2023) Esimese kursuse tudengite strateegiad probleemülesannete lahendamisel. TLÜ DTI magistritöö
Sokolova, J. (2018) Projektõppe võimalusi 5.klassi matemaatikatunnis. TLÜ DTI magistritöö
Karus, C. & Põder, K. (2025) Õpilaste uskumused ja hoiakud seoses matemaatika õppimisega põhikooli II ja III kooliastmes. TLÜ DTI magistritöö