2. Matemaatika didaktika põhimõisted ja komponendid

Mis on matemaatika didaktika?

Matemaatika didaktika on oma olemuselt korraga nii teadusharu kui ka kogum tunnustatud või tõenduspõhiseid õpetamispraktikaid. Seda mõistet on defineeritud erinevalt sõltuvalt ajastust, koolkonnast ja teaduslikust rõhuasetusest. Paljud autorid mõistavad matemaatika didaktikat kui haridusteaduse haru, mis uurib matemaatika õpetamise ja õppimise seaduspärasusi koolis ja ühiskonnas laiemalt. Teiste käsitluste järgi on matemaatika didaktika pigem pedagoogika rakenduslik haru, mille ülesanne on vastata küsimustele: miks, mida ja kuidas õpetada matemaatika õppeaine raames. On ka definitsioone, mis rõhutavad didaktika normatiivset rolli – matemaatika didaktika ei piirdu pelgalt õpetamise ja õppimise kirjeldamisega, vaid kehtestab ka standardeid ja põhimõtteid, mille järgi õpetamine peaks toimuma ja millest lähtuvalt matemaatika õpetamist hinnatakse.

Seonduvad põhimõisted

Matemaatika didaktika asukoha ja rolli mõistmiseks sotsiaalteaduste süsteemis on mõistlik alustada üldisematest mõistetest. Haridusteadus (i.k.: Educational Science) hõlmab kõiki haridusega seotud uurimisvaldkondi, mille hulka kuuluvad näiteks haridusfilosoofia, hariduspsühholoogia, haridusökonoomika, haridussotsioloogia, õppekavateooria, haridustehnoloogia ja hariduse ajalugu. Üheks vanimaks ja olulisimaks haridusteaduse haruks on pedagoogika, mida sageli määratletakse kui kasvatuse ja hariduse seaduspärasuste uurimisele keskenduvat haridusteaduse haru. Pedagoogika ülesanne on uurida, kuidas inimene areneb, kuidas teda on võimalik kasvatada ja harida, ning millised tingimused toetavad õppimise ja õpetamise protsesse (Kansanen, 1999).

Pedagoogikas on keskseteks nähtusteks õppimine ja õpetamine. Õppimist on defineeritud mitmel moel. Robert Gagné (1965) määratles õppimist kui muutust inimese võimekuses või käitumises, mis ei ole seletatav üksnes bioloogilise kasvamisega, vaid tuleneb kogemusest. Nõukogude pedagoogika suurkuju Lev Võgotski (1978) rõhutas seevastu õppimise sotsiaalset olemust: iga uus vaimne funktsioon ilmneb esmalt inimestevahelises koostöös/suhtluses ja alles hiljem internaliseeritakse individuaalseks oskuseks. Jerome Bruner (1966) lisas konstruktivistliku mõõtme, rõhutades, et õppimine on aktiivne teadmiste loomise protsess, kus uus arusaam kujuneb varasemate teadmiste pinnalt. Tänases Eestis on esiplaanile tõstetud enesejuhitav õppimine, mida Barry Zimmermann (2002) defineerib kui protsessi, "milles õppijad aktiveerivad ja rakendavad kognitiivseid, motivatsioonilisi ja käitumuslikke strateegiaid oma õpieesmärkide saavutamiseks“. See definitsioon rõhutab, et õppimine ei ole vaid passiivne teadmiste omandamine (õpetaja kujundatud) väliste tingimuste mõjul, vaid sõltub õppija võimest oma õppimist kavandada, juhtida ja analüüsida. Viimane defintsioon tõstab esiplaanile õppimise eesmärgistamise, mis on õppesisu ja -meetodite kõrval didaktika olulisimateks aspektideks.

Õpetamine on õppimisprotsessi teadlik juhtimine. David Kolb (1984) on kirjeldanud õpetamist kui õppimist toetavate tingimuste (õpikeskkonna, õppevara, sotsiaalse konteksti, ülesannete) loomist õpetaja poolt, mis võimaldavad õppijal oma kogemuste analüüsi põhjal uusi teadmisi kujundada ja neid siis kohe praktikas või suhtluses/probleemilahenduses järele proovida. Paulo Freire (1996/1970) vastandas traditsioonilisele „pangandusmudelile“ dialoogilise lähenemise, kus õpetamine ei tähenda teadmiste sisestamist passiivsele õppijale, vaid uute teadmiste loomiseks võimaluste loomist õpetaja ja õppija koostöös. Lee Shulman (1987) määratles õpetamise kui protsessi, mis haarab õppijad õpetaja poolt teadlikult kavandatud tegevustesse, mis aitavad saavutada kavandatud eesmärke ja õpiväljundeid (i.k.: Learning Outcomes).

Eesti keele omapäraks on liitsõnade moodustamine, seda ka teadusterminoloogias. Keele- ja haridusteadlased on kokku leppinud, et eesliide "õpi-" viitab õppimisele (millega ei pruugi kaasneda õpetamist), samas kui eesliide "õppe-" viitab õpetamisele ja sisaldab üldjuhul nii õpetamist kui õppimist. Nii on näiteks õpiväljundid, õpistrateegiad, õpimotivatsioon ja õpikeskkond seotud õppimisega, samas kui õppekava, õppemeetod, õppekeel ja õppedisain keskenduvad õpetamisele.

Didaktika definitsioon ja koolkonnad

Pedagoogika olulisimaks alamharuks olevdidaktika tähendab sõna otseses mõttes "õpetamisõpetust" või „õpetamise praktikat ja teooriat“ (i.k.: art & science of teaching) ning seda on määratletud nii kitsamal kui laiemal viisil. Klassikalises käsitluses (Herbart, Schleiermacher) oli didaktika pedagoogika keskne haru, mis tegeleb õpetamise eesmärkide, sisu ja meetoditega. Tänapäeval käsitletakse didaktikat sageli kahest vaatepunktist: ühelt poolt kui deskriptiivset teadust, mis kirjeldab õpetamise ja õppimise seaduspärasusi (nt kuidas õpilased matemaatikas mõisteid konstrueerivad), ning teisalt kui normatiivset teadust, mis formuleerib põhimõtteid ja standardeid, kuidas õpetamine peaks ideaalis toimuma (Klafki, 1995).

Paraku pole didaktika mõiste suuremas osas maailmast suutnud juurduda, olles lisaks saksa keelele aktiivselt kasutusel veel üksnes vene, Balti- ja Põhjamaade keeltes. Inglise keeles – ja selle mõjul ka kümnetes muudes keeltes – ei ole didaktika mõiste ennast kehtestada suutnud. Pertti Kansaneni väitel ei olegi inglise keeles võimalik leida piisavalt lähedast terminit, mida võiks kasutada “didaktika” vastena – parimateks lähendusteks oleksid ehk educational psychology (mis on ilmselgelt laiem) või curriculum (mis on omakorda palju kitsam). Kui eesti, soome, vene ja saksa õpetajakoolituse õppekavades on ülddidaktika üheks keskseks distsipliiniks, siis näiteks USA ja Briti õpetajakoolituse tudengitele sellise nimetusega ainet ei pakutagi. Kuna inglise keel on muutunud domineervaks teaduskeeleks, on üha raskem leida värskeid matemaatika didaktika alaseid teadusartikleid - nende otsimiseks tuleb kasutada alternatiivseid otsingusõnu nagu "mathematics education/teaching/learning", "mathematics curriculum", "problem-solving" jne.

Didaktilisi käitumisjuhiseid, mudeleid ja põhimõtteid rakendatakse koolisüsteemis mitte üksnes õppeprotsessi kavandamisel ja läbiviimisel õpetajate poolt, vaid ka näiteks õppekavaarenduses, koolide välishindamisel, õpikute ja õppematerjalide kavandamisel ja hindamisel. Väljaspool koolisüsteemi leiab didaktika rakendust peamiselt täiskasvanute täiend- ja ümberõppes, aga ka personalijuhtimises ja tarkvaradisainis (süsteemi kasutajasõbralikkuse üks kriteeriume on selle kasutamaõppimise kiirus). Samas ei kasutata viimatimainitud rakendusvaldkondades üldjuhul enam mitte traditsioonilist didaktika mõistestikku, vaid inglise keeleruumist pärit terminoloogiat. Didaktika asemel on seetõttu nende normatiivsete õpetamiskontseptsioonide ühiseks nimetajaks ameerikalikud sõsarmõisted nagu “õppimispsühholoogia”, “andragoogika”, “õppedisain”, “teadmushaldus” jms.

Didaktika teooriate kujunemist on mõjutanud erinevad koolkonnad ja nende juhtivad autorid. Klassikaline saksa didaktika (Herbart, Schleiermacher) rõhutas kasvatuse ja distsipliini rolli õpilaste hoiakute ja käitumise kujundamisel. Reformpedagoogika (Dewey, Montessori) tõstis esile õpilase aktiivse rolli ja kogemusliku õppimise. Käitumuslik didaktika (Skinner'i operantse tingituse teooria) püüdis õpetamist muuta mõõdetavaks ja programmeeritavaks õpilase käitumist korrigeeriva positiivse ja negatiivse tagasiside abil. Kognitiivne ja konstruktivistlik didaktika (Piaget, Vygotski, Bruner) keskendub õppija sisemistele teadmiste kujunemise protsessidele ja sotsiaalsele koostööle. Iga koolkond on jätnud jälje ka matemaatika didaktika arengusse: klassikaline traditsioon toetas geomeetria deduktiivset õpetust, reformpedagoogika inspireeris probleemõpet, käitumuslik lähenemine tõi arvutiharjutused ja testid, konstruktivism aga rõhutas õpilaste enda tähenduste loomist matemaatikas.

Lisaks teaduslikele teooriatele on eksisteerinud ka nn didaktiline ilukirjandus: õpetamise ideaali kirjeldused, mis ei pretendeeri empiirilisele tõsikindlusele, vaid kujundavad ettekujutust sellest, milline „hea õpetamine“ võiks olla. Tuntuimad "didaktilised romaanid" on näiteks Robinson Crusoe, Onu Tomi onnike, ŠKIDi vabariik, Sophie maailm. Matemaatikaga seonduvad ingliskeelsed noorteraamatud on näiteks Math Girls (autor: Hiroshi Yuki), The Number Devil (Hans Magnus Enzensberger), ja The Man Who Counted (Malba Tahan). Eesti ilukirjanduse varasalve kuuluvad suured kooliromaanid (nt. Kevade, Tõe ja õiguse II osa) ei panusta paraku matemaatikahuvi arendamisse.

Tõenduspõhised didaktikaprintsiibid, nagu näiteks õpetamise näitlikustamine, eakohasus, teaduspõhisus, süsteemsus, elulisus, järjepidevus ja individualiseeritus, on pakkunud üldisi suuniseid, kuidas õpetamine peaks kulgema. Matemaatika didaktikas väljendub näiteks elulisuse printsiip tekstülesannetes ning teaduspärasuse printsiip matemaatiliste tõestuste ja täpsuse rõhutamises.

Didaktika kui haridusteaduse haru kasutab õpetamise eesmärkide, sisu ja meetodite uurimiseks nii kvantitatiivseid kui ka kvalitatiivseid lähenemisi. Võrdlev didaktika uurib, kuidas erinevates riikides ja kultuurides matemaatikat õpetatakse, tuues esile sarnasused ja erinevused. Empiirilised uuringud põhinevad sageli õpilastööde analüüsil, klassiruumi vaatlustel või standardiseeritud testide tulemustel. Kvalitatiivne uuring võib hõlmata intervjuusid õpetajatega, õpilaste lahendusprotsesside jälgimist või õppetundide etnograafilist kirjeldust.

Didaktika liigid ja osised

Didaktika jaguneb ülddidaktikaks ja ainedidaktikateks. Ülddidaktika tegeleb universaalsete õpetamis- ja õppimise seaduspärasustega (nt. didaktika printsiipidega), samas kui ainedidaktikad uurivad konkreetse õppeaine õpetamise eripära. Matemaatika didaktika on üks neist eriharudest, mis paikneb ülddidaktika ja matemaatika teaduse ristumiskohas (Schoenfeld, 2016). Matemaatika didaktika ei piirdu üksnes kirjeldustega, vaid hõlmab ka teoreetilisi raamistikke, mis suunavad õpetamise eesmärke, sisu valikut ja metoodikaid. Oluline on siinkohal eristada matemaatika didaktikat ja matemaatika õpetamise metoodikat. Esimene on teaduslik uurimisvaldkond, mis püüab mõista ja seletada matemaatika õppimise ja õpetamise seaduspärasusi ning arendada teooriaid. Viimane aga keskendub praktilistele võttetele ja konkreetsetele juhistele, mida õpetajad saavad klassiruumis kasutada (Bishop, 2012). Näiteks võib matemaatika didaktika uurida, kuidas õpilased konstrueerivad arusaama murdudest ning milliseid mõtlemisraskusi nad kogevad, samas kui metoodika annab õpetajale praktilised tunniplaanid ja ülesandepangad, kuidas murdude teemat käsitleda.

Didaktika võib olla nii deskriptiivne (kirjeldav) kui normatiivne (reeglitepõhine). Deskriptiivne didaktika püüab õpetajalt õpetajale levivate praktikate kirjeldamisel selgitada, kuidas hästitoimiv õpetamine koolitegelikkuses toimub – näiteks milliseid näitlikkustamis- ja hindamisvõtteid õpetajad kasutavad ja miks. Normatiivne didaktika seevastu esitab teooriapõhise ettekujutuse sellest, kuidas õpetamine peaks ideaalis toimuma, seades standardeid ja kujundades soovituslikke praktikaid. Sageli põimuvad need kaks tahku: teaduslik kirjeldus annab aluse normatiivseteks soovitusteks, samas kui kirjeldava matemaatika didaktika kogemused levivad horisontaalselt õpetajate seas sageli ilma konkreetsetele teooriatele ja terminoloogiale tuginemata. Nii on teooriapõhiselt loodud mitmeid praktikas rakendatavaid mudeleid õppeprotsessi didaktiliseks kavandamiseks ja analüüsiks, neist tuntuim on ilmselt "didaktiline kolmnurk". Õpetaja ainealaste, ainedidaktiliste ja haridustehnoloogiliste teadmiste-oskuste uurimiseks kasutatakse aga sageli TPACK raamistikku.

Teine levinud viis struktureerida didaktika ainevaldkonda lähtub õpetatavate inimeste vanuseastmetest – eristatatakse alushariduse-, põhikooli/gümnaasiumi ja kõrgkoolididaktikat. Kuid didaktika ei pruugi piirduda üksnes akadeemilise kooliharidusega. Kahtlemata on didaktikal palju kasulikku öelda ka täiskasvanute tööalase täienduskoolituse tõhustamise osas – mida aeg edasi, seda enamatel erialadel kuulub nõutavate standardpädevuste hulka nii elementaarne arvutioskus kui ka erialase rakendustarkvara kasutaminse.

Didaktikat on eri ajastuil ja erinevates koolkondades käsitatud kas abstraktse vaimuteadusena või pragmaatilise õpetamistehnikana. Vaimuteaduslik käsitlus (nt Wilhelm Dilthey traditsioon) rõhutas õpetamise humanistlikku, filosoofilist ja kultuurilist mõõdet didaktikas: õpetamine on eelkõige inimese arengu ja kultuuri vahendamise protsess. Tehnitsistlik käsitlus (nt Herbarti või 20. sajandi käitumuspsühholoogilised koolkonnad - Thorndike, Skinner) nägi didaktikat pigem kui praktiliste õpetamistehnikate kogumit, kus eesmärk on leida kõige tõhusam viis teadmiste ja oskuste edasiandmiseks teatud ainevaldkonnas. Nende kahe vastanduva koolkonna vahel paiknevad siiani võimalused sünteesiks ja kompromissideks, aga kohati ka teravad vastandumised.

Matemaatika didaktika uurimisobjektid

Matemaatika didaktika uurimisobjektideks on kolm põhilist komponenti: matemaatika õpetamise eesmärgid, sisu ja meetodid. Õpetamise eesmärgid on ajas muutuvad: antiikajal rõhutati loogilise mõtlemise distsipliini, 19. sajandil rahvusriikide teenimist, tänapäeval aga probleemilahenduse, modelleerimise ja digipädevuse arendamist. Matemaatika sisu hõlmab teadmiste valdkondi, mida koolides õpetatakse: aritmeetika, algebra, geomeetria, analüüs, tõenäosus ja statistika. Didaktiline küsimus seisneb selles, millised teemad valida, millises järjestuses neid esitada ja kuidas siduda neid õpilaste arengu ja ühiskonna vajadustega. Õpetamise meetodid ulatuvad traditsioonilisest frontaalsest loengust ja harjutustest avastusõppe, projektõppe ja digipõhiste adaptiivsete keskkondadeni. Näiteks võib murdude õpetamisel kasutada nii drillülesandeid, manipulatiive kui ka uurimuslikku lähenemist, kus õpilased ise avastavad murdude seoseid igapäevase kontekstiga (nt retseptide jagamisel).

Matemaatika didaktika ja matemaatika õpetamise metoodika on mõisted, mida sageli segi aetakse, kuid millel on oluline vahe. Matemaatika didaktika on teaduslik uurimisvaldkond, mis loob üldistusi ja teooriaid matemaatika õppimise ja õpetamise seaduspärasustest. Matemaatika õpetamise metoodika seevastu on ainedidaktika praktiline rakendus, mis pakub õpetajatele konkreetseid võtteid, materjale, vahendeid ja juhiseid konkreetsete koolimatemaatika teemade käsitlemiseks õppetöös. Näiteks didaktika uurib, kuidas õpilased mõistavad murdude, protsendi ja võrrandi mõistet, millised kognitiivsed raskused neil tekivad ja kuidas neid ületada. Metoodika aga kirjeldab konkreetseid tunnivõtteid: kuidas neid mõisteid näitlikkustada ja selgitada, milliseid ülesandeid kasutada, kuidas neid järjestada ja milliseid digitaalseid abivahendeid seejuures rakendada.

Kokkuvõttes on matemaatika didaktika interdistsiplinaarne valdkond, mis seob endas haridusteaduse üldised põhimõtted, matemaatika sisulise eripära ja õpetamise praktilised vajadused. Selle keskmes on kolm komponenti – eesmärgid, sisu ja meetodid – kuid nende taga seisab lai teoreetiline ja uurimuslik raamistik, mis kujundab arusaama, kuidas matemaatikat õpetada nii, et see toetaks õppijate arengut ja vastaks ühiskonna ootustele.

Kasutatud kirjandus

• Bishop, A. J. (2012). Mathematical enculturation: A cultural perspective on mathematics education. Springer Science & Business Media.
• Bruner, J. S. (1966). Toward a theory of instruction. Harvard University Press.
• Freire, P. (1996). Pedagogy of the oppressed (30th anniversary ed.). Continuum. (Orig. work published 1970)
• Gagné, R. M. (1965). The conditions of learning. Holt, Rinehart & Winston.
• Kansanen, P. (1999). The Deutsche Didaktik and the American research on teaching. Teaching and Teacher Education, 15(1), 33–45.
• Kolb, D. A. (1984). Experiential learning: Experience as the source of learning and development. Prentice Hall.
• Schoenfeld, A. H. (2016). Learning to think mathematically: Problem solving, metacognition, and sense making in mathematics. Journal of Education, 196(2), 1–38.
• Shulman, L. S. (1987). Knowledge and teaching: Foundations of the new reform. Harvard Educational Review, 57(1), 1–22.
• Vygotsky, L. S. (1978). Mind in society: The development of higher psychological processes. Harvard University Press.

Lisalugemist: teadusartiklid

x

Kaitstud magistritööd

x